Fonctions zêta de Weil et interprétations cohomologiques

D. Caro (LMNO)

Supposons donnée une famille de polynômes à coefficients dans un corps fini F_q à q éléments. L'intérêt aussi bien théorique que pratique (e.g. en cryptographie) du dénombrement des solutions à coefficients dans F_q (ou plus généralement dans une extension finie de F_q) de cette famille de polynômes n'est plus à démontrer. Dans les années 40, Weil introduisit une fonction associée à cette famille de polynômes, la fameuse fonction zêta de Weil. La connaissance de cette fonction zêta de Weil équivaut explicitement à celle du dénombrement des solutions dans une extension quelconque finie de F_q. Il se trouve que cette fonction zêta de Weil dispose de propriétés remarquables. Nous évoquerons en particulier sa rationalité et ses interprétations cohomologiques qui permettent de la calculer.