Fonctions zêta de
Weil
et interprétations cohomologiques
D. Caro (LMNO)
Supposons donnée une famille de polynômes à
coefficients dans un corps fini F_q à q
éléments. L'intérêt aussi bien
théorique que pratique (e.g. en cryptographie) du
dénombrement des solutions à coefficients dans F_q
(ou plus généralement dans une extension finie de F_q) de
cette famille de polynômes n'est plus à
démontrer. Dans les années 40, Weil introduisit une
fonction associée à cette famille de polynômes, la
fameuse fonction zêta de Weil. La connaissance de cette fonction
zêta de Weil équivaut explicitement à celle du
dénombrement des solutions dans une extension quelconque finie
de F_q. Il se trouve que cette fonction zêta de Weil dispose
de propriétés remarquables. Nous évoquerons en
particulier sa rationalité et ses interprétations
cohomologiques qui permettent de la calculer.