Maëlis BLOT
LMAH


Étude d'équations différentielles abstraites complètes de type elliptique
sur toute la droite dans un cadre non commutatif


Résumé : On étudie l'équation différentielle abstraite complète de type elliptique du second ordre suivante : \begin{equation} u^{\prime \prime }(x)+2Bu^{\prime }(x)+Au(x)-\omega u(x)=f(x), \, x\in \mathbb{R}. \label{Equation1} \end{equation} Ici $(A,D(A))$, $(B,D(B))$ sont deux opérateurs linéaires fermés dans $X$, $\left( X,\left\Vert .\right\Vert \right) $ étant un espace de Banach complexe, $\omega$ est un reél positif assez grand et $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ valeurs dans $X$. On donne de nouveaux résultats et de nouvelles précisions pour l'étude de cette équation sur toute la droite, prolongeant les travaux effectués dans des articles récents ([1, 2, 3, 4]). Dans ces travaux, les auteurs ont étudié cette équation sur $\left[ 0,1\right]$ avec des conditions de bord de Dirichlet sur l'espace de Hölder $C^{\theta }\left( \left[ 0,1\right];X\right) $, $\theta \in \left] 0,1\right[ $. Ils ont prouvé l'existence, l'unicité et la régularité maximale de la solution stricte avec des hypothèses naturelles d'ellipticité dans un cadre commutatif. On améliore l'étude en développant une nouvelle approche non commutative sur l'espace $BUC^{\theta }\left( \mathbb{R};X\right) $, où $\theta \in \left] 0,1\right[ $, l'espace de Banach des fonctions bornées et uniformément $\theta $-höld\'{e}riennes sur $\mathbb{R}$. On prouvera l'existence et l'unicité de la solution stricte, c'est-à-dire une fonction $u$ telle que \begin{equation*} u\in BUC^{2}(\mathbb{R};X)\cap BUC(\mathbb{R};D(A)), \, u^{\prime }\in BUC(\mathbb{R};D(B)), \end{equation*} et satisfaisant notre équation. On démontrera aussi la propriété de régularité maximale suivante \begin{equation*} u^{\prime \prime },\, Bu^{\prime }, \, Au\in BUC^{\theta}\left( \mathbb{R};X\right) . \end{equation*} La méthode utilise la théorie des Équations Différentielles Abstraites (EDA) pour avoir une représentation explicite de la solution sous forme d'intégrale de Dunford et les techniques de démonstration sont basées essentiellement sur la théorie des semigroupes analytiques "généralisés" (cela signifie qu'on n'a pas de forte continuité en zéro à cause des domaines non supposés denses ([5])).

Bibiographie :
[1] A. Favini, R. Labbas, S. Maingot, H. Tanabe, A. Yagi, Necessary and Sufficient Conditions for Maximal Regularity in the Study of Elliptic Differential Equations in Hölder Spaces, Discrete Contin. Dyn. Syst. 22(4) (2008), pp. 973-987.
[2] A. Favini, R. Labbas, S. Maingot, H. Tanabe, A. Yagi, Étude Unifiée de Problèmes Elliptiques dans le Cadre Höldérien, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I 341 (2005), pp. 485-490.
[3] A. Favini, R. Labbas, S. Maingot, H. Tanabe, A. Yagi}, On the Solvability and the Maximal Regularity of Complete Abstract Differential Equations of Elliptic Type, Funckcial. Eckvac. 47 (2004), p. 423-452.
[4] A. Favini, R. Labbas, H. Tanabe, A. Yagi}, On the Solvability of Complete Abstract Differential Equations of Elliptic Type, Funckcial. Eckvac. 47 (2004), p. 205-224.
[5] E. Sinestrari, On the Abstract Cauchy Problem in Spaces of Continuous Functions, J. Math. Anal. Appli. 107 (1985), p. 16-66.