Résumé :
Le produit de convolution $\mu \star \nu$ de deux mesures finies $\nu , \mu$ on $\mathbb{R}_+$ est définie comme
étant l'image de la mesure produit tensoriel $\nu \otimes\mu$ par la fonction $(x,y)\mapsto x+y$ on $[0,\infty)^2$.
L'idée est d'exploiter la notion de convolabilité de mesures positives (non-nécessairement finies)
voir [1, 2, 3]. Les propriétés
algébriques de mesures convolables sont les mêmes que celles des mesures finies.
L'étape qui suit est l'étude de la déconvolution :
- la notion classique de l'infinie divisibilité pour les mesures de probabilité ([3])
s'étendent naturellement pour les mesures non finies,
- une formule de Lévy-Khintchine existe,
- l'infinie divisibilité au sens étendu est illustrée par de nombreux exemples non-triviaux,
- l'infinie divisibilité au sens probabiliste est récupérée par une simple transformation d'Esscher.
Bibiographie :
[1] Berg, C., Forst , G. : Potential theory on locally compact Abelian groups. Berlin ; New York : Springer-Verlag, 1975.
[2] Dieudonné, J. : Treatise On Analysis, Vol.II, Enlarged and Corrected Printing. Academic press, 1976.
[3] Steutel, F.W., Van Harn, K. : Infinite divisibility of probability distributions on the real line, Marcel Dekker, 2004.