Cette journée Math-Info est organisée conjointement par les fédérations de Recherche Normandie-Mathématiques et NormaStic.
Mardi 29 novembre de 10h00 à 16h30
Salle du séminaire du département d’informatique
Campus du Madrillet
Université de Rouen - Normandie
Arithmétique, Cryptographie et thèmes connexes
10h00 à 10h30 : Accueil des participants
10h30 à 11h30 : Alain COUVREUR (Laboratoire d'Informatique de l'Ecole Polytechnique)
- Quelques problèmes géométriques provenant de la théorie des codes
La théorie des codes correcteurs est une théorie riche
sollicitant des domaines mathématiques variés : combinatoire,
probabilités, algorithmique, arithmétique, géométrie finie, géométrie
algébrique, etc.
Dans cet exposé, je présenterai quelques questions de théorie des codes
qui peuvent se reformuler sous la forme de problèmes arithmétiques et/ou
géométriques. Nous verrons comment ce type de traduction peut aider à
répondre à des questions de codage via la géométrie... et réciproquement !
11h45 à 12h45 : Ayoub OTMANI (LITIS, Université de Rouen)
- Cryptographie fondée sur l'identité utilisant le problème de résiduosité quadratique
Le concept de cryptographie fondée sur l’identité ait apparu pour la première fois en 1984 avec les travaux de Shamir qui a émis l’idée de proposer des schémas où les clefs publiques seraient des identités comme une adresse e-mail, un numéro de téléphone, etc. Les premiers schémas de chiffrement fondés sur l’identité ont été proposés en 2001 par Boneh et Franklin utilisant les couplages, et celui de Cocks lequel repose le problème de résiduosité quadratique.
Cet exposé présentera les notions fondamentales sur la cryptographie fondée sur l’identité puis s’attardera à rappeler les concepts d’arithmétique pour présenter le schéma de Cocks.
13h00 à 14h00 : déjeuner
14h00 à 15h00 : Emmanuel HALLOUIN (Institut de Mathématiques de Toulouse)
- Vision unifiée de plusieurs majorations du nombres de points rationnels sur une courbe projective lisse définie sur un corps fini
Je commencerai par rappeler l'esprit de la preuve initiale de Weil pour
la majoration du nombre de points rationnels d'une courbe projective
lisse définie sur un corps fini. En particulier, j'insisterai sur le
fait qu'elle découle de contraintes euclidiennes dans un espace
euclidien issu de la géométrie algébrique.
Ensuite je montrerai comment
cette borne de Weil peut être vue comme la borne d'ordre 1 d'une classe
de bornes de Weil généralisées d'ordre $n$ pour $n \geq 1$. Avec ce point
de vue, la borne de Weil généralisée d'ordre 2 n'est rien d'autre que
la borne d'Ihara. Quant aux bornes d'ordre supérieur, on peut les
relier aux bornes d'Oesterlé. Au passage, on donnera la borne d'ordre
3, encore inconnue sous cette forme.
15h15 à 16h15 : Bruno ANGLÈS (LMNO, Université de Caen)
- Sommes de polynômes à coefficients dans des corps finis : de la combinatoire élémentaire à la géométrie
16h30 : Clôture de la journée