Résumé :
Plusieurs types d'inégalités polynomiales ont été étudiés depuis plus d'un siècle.
Ce travail est consacré à l'études des inégalités de type Landau-Kolmogorov en norme $L^2$.
Les mesures utilisées sont celles pour lesquelles les dérivées des polynômes orthogonaux sont aussi orthogonales :
les mesures d'Hermite, de Laguerre-Sonin et de Jacobi.
Ces inégalités sont obtenues en utilisant une méthode variationnelle et font intervenir les normes carrées
d'un polynôme $p$ et de certaines de ses dérivées $p^{(i)}$.
$$ ||p||_{L^{2}(\Omega;\mu_{0})}^{2} + \sum\limits_{m \in I^+} \lambda_{m} ||p^{(m)}||_{L^{2}(\Omega;\mu_{m})}^{2} \geq \sum\limits_{m \in I^-} (-\lambda_{m}) ||p^{(m)}||_{L^{2}(\Omega;\mu_{m})}^{2}, \qquad \forall p \in \mathcal{P}$$
où
- $\mathcal{P}$ est l'espace vectoriel des polynômes réels d'une variable,
- $I^{+}=\left\lbrace i\in \mathbb{N} | \lambda_{i}>0\right\rbrace $,
- $I^{-}=\left\lbrace i\in \mathbb{N} | \lambda_{i}<0\right\rbrace $,
- $I^{+}$ et $I^{-}$ $\subset \left\lbrace 1,2,\ldots,N \right\rbrace$.
Les ensembles d'entiers $I^{+}$ et $I^{-}$ obéissent à certaines règles que nous allons étudier. Nous donnons quelques inégalités
et des exemples d'applications.